在中国的刑事司法体系中，逮捕是刑事诉讼程序中的重要环节，通常在侦查阶段实施。根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的规定，逮捕犯罪嫌疑人或被告人，必须符合法定条件，并经过严格的审批程序。当公安机关认为有证据证明犯罪嫌疑人可能逃避侦查、串供或者毁灭、伪造证据，以及可能对社会造成危害时，可以提请人民检察院批准逮捕。

当公安机关在侦查37天后提出逮捕申请，这表明侦查工作已经进入了一个关键阶段，对于案件的定性、量刑以及嫌疑人的处理具有重要意义。在这个时间点上，如果检察院认为逮捕理由充分，证据确凿，一般会予以批准。然而，这并不意味着逮捕是必然的结果，检察院有权根据具体情况决定是否批准逮捕。

根据法律规定，即使被批准逮捕，犯罪嫌疑人也有权申请取保候审。取保候审是指在一定的条件下，犯罪嫌疑人或被告人在被羁押之外，由公安机关或者人民检察院提供保证人或者交纳保证金，保证其不逃避侦查和审判，随传随到的一种强制措施。取保候审的适用条件主要包括：一是可能判处管制、拘役或者三年以下有期徒刑的；二是患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；三是羁押期限届满，案件尚未办结，需要继续侦查的。

因此，37天批准逮捕后，嫌疑人仍有权利申请取保候审，但能否成功取决于具体案情和法律规定。法官和检察官会综合考虑犯罪嫌疑人的社会危险性、案件性质、证据情况等因素，作出最有利于维护法律公正和保障嫌疑人合法权益的决定。

总的来说，逮捕与取保候审都是刑事诉讼过程中的重要环节，它们的运用旨在确保司法公正和人权保障。在37天批准逮捕后，犯罪嫌疑人有权依法申请取保候审，但这并不意味着取保一定会被批准，最终的决定取决于法律的严谨性和公正性。